Kesebangunan

Dua Bangun Datar yang Sebangun

Perhatikan Gambar Persegi panjang ABCD dan PQRSmempunyai sisi-sisi yang bersesuaian, yaitu
 

Panjang sisi kedua persegi panjang tersebut mempunyai perbandingan yang senilai.


Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegi panjang mempunyai perbandingan yang sama, yaitu


Keempat sudut dari persegi panjang ABCD dan PQRS adalah 90" sehingga kedua persegi panjang tersebut mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu
ﮮ A = ﮮP, ﮮ B = ﮮQ, ﮮC = ﮮ R. dan ﮮ D = ﮮ S

Dapat dikatakan bahrva persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PORS dan ditulis ABCD ~ PQRS.
Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat berikut.

1. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang senilai.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Dua Bangun yang Sama dan Sebangun

Perhatikan dua lembar uang kertas yang nilainya sama. Misalnya Rp.5.000.00. Apakah uang tersebut panjang dan lebarnya sama?

Coba hitunglah perbandingan dari masing-masing sisi-sisinya. Kamu akan memperoleh nilai perbandingan sisi-sisinya sama dengan 1.
Dari hasil perbandingan di atas diperoleh :

1. sisi-sisi yang bersesuaian dari uangtersebut sarna panjang.
2. sudut-sudut yang bersesuaian dari uang tersebut sama besar (90^o).

Jadi, kedua uang tersebut mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. Bangun-bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama disebut bangun-bangun yang kongruen, yakni bangun-bangun yang sama dan sebangun. Bangun-bangun yang kongruen jika diimpitkan akan saling menutupi satu sama lain.

Dua bangun bersisi lurus dikatakan kongruen jika :

1. sisi-sisi yang bersesuaian dari bangun tersebut sama panjang:
   
2. sudut-sudut yang bersesuaian dari bangun tersebut sama besar
   
   

Menghitung Panjang Salah Satu Sisi yang Belum Diketahui dari Dua Bangun yang Sebangun

Kita dapat menggunakan sifat dari dua bangun datar yang sebangun. yaitu perbandingan panjang sisi yang bersesuaian senilai untuk menghitung panjang salah satu sisi yang belum diketahui dari dua bangun yang sebangun.
Contoh :
Diketahui dua bangun datar di bawah sebangun. Tentukan nilai x dan y !


Jawab :
Perbandingan sisi yang bersesuaian yang diketahui adalah ²¹/₉ = ⁷/₃ maka sisi yang lain juga harus mempunyai perbandingan yang sama. Nilai x dan y dapat diperoleh dari perbandingan di atas, yaitu :


Jadi, x = 3 cm dan y = 6 cm.

SEGITIGA-SEGITIGA YANG SEBANGUN

Syarat Segitiga-Segitiga Sebangun

Pada Gambar dibawah tampak dua segitiga, yaitu ∆ ABC dan ∆ DEF. Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut adalah sebagai berikut:  Dengan demikian, diperoleh :
Ukurlah sudut-sudut dari kedua segitiga itu dan bandingkan hasil pengukuranmu untuk sudut-sudut yang bersesuaian, yaitu ﮮ A dengan ﮮ D. ﮮ B dengan ﮮ E, dan ﮮ C dengan ﮮF Jika pengukuranmu benar kamu akan memperoleh hasil ﮮ A = ﮮ D ﮮ B = ﮮ E.dan ﮮ C = ﮮ F.
Karena sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang senilai dan sudut yang bersesuaian sama besar maka ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun.
Jadi. kesebangunan dua segitiga dapat diketahui cukup dengan menunjukkan bahwa perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian senilai. Lakukan pengukuran panjang sisi-sisi dari kedua segitiga tersebut dan bandingkan hasil pengukuranmu untuk sisi-sisi yang bersesuaian. Karena sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama dan sudut yang bersesuaian sama besar Maka ∆ ABC sebangun dengan ∆ DEF. Jadi. kesebangunan dua segitiga dapat diketahui cukup dengan menunjukkan bahwa sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Dua segitiga dikatakan sebangun jika memenuhi salah satu syarat berikut :

1. Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian senilai.
2. Dua pasang sudut yang bersesuaian yang sama besar.
   

Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-Siku

Dalam segitiga siku-siku terdapat kesebangunan khusus. Perhatikan gambar di samping. Pada segitiga siku-siku di bawah.

a AD² = BD x CD;
b. AB² = BD x BC;
c. AC² = CD x CB.
Contoh :
Pada gambar di bawah diketahui AB = 6 cm dan BC. Tentukan
a. AC;
b. AD;
c. BD.

Jawab:
a. AC² = AB²+BC²
          = 6² + 8²
          = 36+64
          = 100
    AC = √100 = 10

b. AB² = AD x AC
      6² = AD x 10
      36 = AD x l0
     AD =³⁶/₁₀
           = 3,6 cm
     DC = l0 cm - 3,6cm
           = 6,4 cm
c. BD² = AD x DC
           = 3,6 x 6,4
           = 23,04
      BD = √23,04 = 4,8 cm

Menghitung Panjang Salah Satu Sisi yang Belum Diketahui dari Dua Segitiga yang Sebangun

Konsep kesebangunan dua segitiga dapat digunakan untuk menghitung panjang salah satu sisi segitiga sebangun yang belum diketahui. Coba perhatikan contoh berikut! Contoh :
Diketahui ∆ ABC sebangun dengan ∆ DEF. Tentukan EF ?

jawab:

Garis-Garis Sejajar pada Sisi Segitiga

Pada Gambar Dibawah, ∆ ABC dan ∆ DEC sebangun. Berikut akan ditentukan perbandingan ruas garis dari kedua segitiga tersebut.
Perhatikan Gambar dibawah.

Dari gambar tersebut terlihat bahwa ruas garis .DE // AB sehingga diperoleh
ﮮ ACB = ﮮ DCE (berimpit)
ﮮ CAB = ﮮ CDE (sehadap)
Karena dua sudut yang bersesuaian dari ∆ ABC dan ∆ DEC sama besar maka kedua segitiga itu sebangun. Karena sebansun maka berlaku

Kedua ruas dikalikan (a + d)(c + b) sehingga diperoleh


Contoh:
Dalam ∆ PRT, PT//QS, hitunglah QR dan ST!
Jawab :

Menyelesaikan Soal Cerita yang Berkaitan dengan Kesebangunan

Konsep dan sifat-sifat kesebangunan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah atau soal cerita yang berkaitan dengan kesebangunan. Untuk menyelesaikan soal cerita dapat dibantu dengan membuat sketsa atau gambar. Dari gambar itu, baru
diselesaikan.
Contoh:
Sebuah kawat baja dipancangkan untuk menahan sebuah tiang listrik yang berdiri tegak lurus. Sebuah tongkat didirikan tegak lurus sehingga ujung atas tongkat menyentuh kawat. Diketahui panjang tongkat 2 m, jarak tongkat ke ujung bawah kawat 3 m dan jarak tiang listrik ke tongkat 6 m. Berapa tinggi tiang listrik?
Jawab:
Misalnya, tinggi tiang listrik adalah t sehingga diperoleh perbandingan sebagai berikut.


Jadi, tinggi listrik adalah 6 cm.

Segitiga-Segitiga yang Kongruen

Pengertian Segitiga yang Kongruen

Pengubinan pada lantai yang telah kita kenal dapat digunakan untuk memahami pengertian kongruen. Pola pengubinan yang kita gunakan adalah pengubinan bangun segitiga. Perhatikan Gambar disamping Jika dilakukan pergeseran atau pemutaran terhadap salah satu ubin maka segitiga tersebut akan menempati ubin yang lain dengan tepat. Keadaan tersebut menunjukkan bahwa ubin yang satu dengan ubin yang lain mempunyai bentuk sama (sebangun) dan mempunyai ukuran yang sama. Segitiga-segitiga yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama disebut segitiga-segitiga yang kongruen (sama dan sebangun).

Sifat-Sifat Dua Segitiga yang Kongruen

Untuk dapat memahami sifat-sifat dua segitiga yang kongruen, perhatikan Gambar diatas ini. Karena segitiga-segitiga yang kongruen mempunyai bentuk dan ukuran yang sama maka masing-masing segitiga jika diimpitkan akan tepat saling menutupi satu sama lain.
Gambar di samping menunjukkan ∆, PQT dan ∆ QRS kongruen. Perhatikan panjang sisi-sisinya. Tampak bahwa PQ = QR, QT = RS. dan QS = PT sehingga sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga sama panjang.
Selanjutnya, perhatikan besar sudut-sudutnya. Tampak bahwa ﮮ TPQ = ﮮ SQR, ﮮ PQT = ﮮ QRS , dan ﮮ PTQ = ﮮ QSR sehingga sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua segitiga tersebut sama besar.
Dari uraian di atas. dapat disimpulkan sebagai berikut.
Dua buah segitiga dikatakan kongruen jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut.

1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Syarat Dua Segitiga Kongruen

Dua segitiga dikatakan kongruen jika dipenuhi salah satu dari tiga syarat berikut.

1. Ketiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi, sisi, sisi).
2. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi itu sama besar (sisi, sudut, sisi).
3. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua titik sudut itu sama panjang (sudut, sisi, sudut).

• Ketiga Pasang Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang (Sisi, Sisi, Sisi)

Dua segitiga di bawah ini, yaitu ∆ ABC dan ∆ DEF mempunyai panjang sisi-sisi yang sama.


Perbandingan yang senilai untuk sisi-sisi yang bersesuaian menunjukkan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun. Karena sebangun maka sudut-sudut bersesuaian juga sama besar, yaitu ﮮ A= ﮮ D, ﮮ B= ﮮ E,dan ﮮ C= ﮮ F.
Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.

• Dua Sisi.yang Bersesuaian Sama Panjang dan Sudut yang Dibentuk oleh Sisi-Sisi itu Samar Besar (Sisi, Sudut, Sisi)
  

Pada gambar di atas, diketahui bahwa AB = DE, AC = DF, dan ﮮ CAB = ﮮ EDF. Apakah ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen? Jika dua segitiga tersebut diimpitkan maka akan tepat berimpit sehingga diperoleh :

Hal ini berarti ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun sehingga diperoleh
ﮮA = ﮮD, ﮮB = ﮮ E, dan ﮮC = ﮮE Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, maka ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.

• Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Menghubungkan Kedua Sudut itu Sama Panjang (Sudut, Sisi. Sudut)

Pada gambar di atas, ∆ ABC dan ∆ DEF mempunyai sepasang sisi bersesuaian yang sama panjang dan dua sudut bersesuaian yang sama besar, yaitu AB = DE, ﮮ A = ﮮ D. Dan ﮮB = ﮮE. Karena ﮮA = ﮮD dan ﮮB =ﮮE maka ﮮC = ﮮF. Jadi. ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun. Karena sebangun maka sisi-sisi yang bersesuaian rnempunyai perbandingan yang senilai.


Contoh:

Perhatikan gambar layang-layang pada Gambar. Sebutkan pasangan segitiga-segitiga yang kongruen!
Jawab:
Pasangan segi tiga-segi tiga yang kongruen adalah :
∆ AED dengan ∆ ABE:
∆ DEC dengan ∆ BEC:
∆ ACD dengan ∆ ABC.
a) ∆ AED kongruen dengan ∆ ABE
Bukti; Karena ∆ ABD sama kaki dan AE adalah garis bagi maka diperoleh AD = AB (diketahui)

ﮮ DAE = ﮮ BAE

AE = AE (berimpit)
Maka terbukti bahwa ∆ AED kongruen dengan ∆ ABE. (Sisi, Sudut, Sisi)
b) ∆ DEC kongruen dengan ∆ BEC
Bukti; Karena ∆ BCD sama kaki dan CE adalah garis bagi maka diperoleh CD = CB (diketahui)
ﮮ DCE = ﮮ BCE
CE = CE (berimpit)
Jadi. terbukti bahwaA DEC kongruen dengan L ABE. (Sisi. Sudut. Sisi)
∆ ACD konsruen dengan ∆ ABC

Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut Segitiga-Segitiga kongruen

Dengan menggunakan sifat-sifat dua segitiga yang kongruen dapat ditentukan sisi-sisi yang sama panjang dan sudut-sudut yang sama besar.
Contoh:
Perhatikan Gambar

Diketahui ∆ KNM kongruen dengan ∆ NLM! Panjang KN = 5 cm, KM = l0 cm, ﮮ NKM = 60'. Tentukan panjang sisi dan sudut yang belum diketahui!
Jawab:
Karena ∆ KNM dan ∆ NLM kongruen maka KM = ML = l0 cm dan NL = KN = 5 cm. Dengan demikian, panjang MN dapat ditentukan dengan menggunakan dalil Pythagoras.

Referensi

• Erlangga
• Tiga Serangkai

Cerita Motivasi

Suatu ketika di negeri antah berantah, terdapat suatu daerah yang banyak sekali bencana alam yang menimpa. Hal ini membuat meledaknya jumlah deretan nama anak yatim, orang-orang trauma dan putus asa, manula yang tidak tahu harus mengadu kemana tentang nasib mereka dan masih banyak jenisnya. Kesemua dari mereka adalah orang yang kesusahan.

Perdana menteri sering berkunjung ke daerah tersebut, sambil membawa bantuan yang cukup meringankan beban keseharian rakyatnya. Pada suatu ketika, oleh perdana menteri anak-anak yatim dikumpulkan kemudian dipindahkan ke daerah yang lebih tenang dan kehidupan warganya dalam keadaan yang maju dan termasuk dalam ekonomi kuat.

Disana anak-anak tersebut dibuatkan sebuah rumah kasih sayang, sejenis rumah anak yatim. Kalangan pengusaha, wirausahawan, pejabat, dan orang-orang terpandang dipanggil. Oleh perdana menteri diumumkan bahwa disinilah tempat anak-anak terlantar dan kesusahan yang sangat butuh uluran tangan. Oleh karenanya mereka dimintakan bantuan. Secara berkala mereka dimintai bantuan untuk menghidupi anak-anak tersebut.

Tiga bulan kemudian perdana menteri menugaskan orang kepercayaannya untuk mengunjungi rumah kasih sayang tersebut.  Satu hari penuh utusan tersebut bersama anak-anak. Apa yang terlihat sungguh memilukan. Anak-anak kekurangan makanan. Bantuan yang diterima tidak sebanding dengan jumlah mereka. Sehingga sebagian anak rela berpanas-panasan untuk jualan koran, membantu angkat belanjaan, ataupun menengadahkan tangan di kaca-kaca mobil yang mengkilap.

Kemudian hal itu diceritakan kepada Perdana Menteri. Dengan buliran air mata Perdana Menteri mendengarkan cerita utusannya dengan seksama.

Hari berikutnya, seluruh anak yatim, dibawa ke ibu kota. Dan seluruh biaya kehidupan mereka ditanggung oleh perdana menteri. Entah kebetulan atau tidak, beberapa bulan kemudian, daerah bekas anak-anak tersebut tinggal, terkena musibah dan bencana yang dahsyat.

dalam mengarungi kehidupan ini, adakalanya kita dihadapkan pada badai kehidupan. Ada hal yang dapat kita ambil pelajaran dari seekor elang.

Elang mampu terbang tinggi dengan melewati angin yang kencang dan badai menerpanya.  Apakah sahabat tau apa yang dilakukan elang saat badai menghampirinya? Ada hal yang menarik disini yang dapat kita pelajari.

Elang akan terbang ke tempat yang tinggi dan menunggu angin dan badai sambil membuka lebar-lebar sayapnya. Ketika badai datang, maka angin akan mengambil dan mengangkat tubuh elang ke atas badai. Sementara badai mengamuk di bawah, elang ini melonjak di atasnya.

Elang tidak luput badai. Ini adalah cara sederhana untuk memanfaatkan badai untuk mengangkat tubuhnya lebih tinggi. Elang terbang tinggi bersama angin yang membawa badai.

Ketika badai kehidupan datang kepada kita – dan kita semua akan mengalami
seperti yang elang alami – kita dapat naik di masalah dengan menetapkan pikiran kita dan keyakinan kita bahwa kita akan melewati masalah itu. Badai tidak harus kita atasi. Tapi kita punya pilihan untuk memanfaatkan  masalah untuk meningkatkan kualitas kita.

Masalah bukanlah beban yang memberatkan kehidupan kita, namun ini adalah pelajaran dan pendidikan dari Allah, ini adalah cara untuk menaikkan kualitas kita. dan pelajaran  bagaimana menangani masalah dengan berbekal keyakinan dan kemantapan hati. Bukan dengan keputusasaan dan ketakutan.  Tidaklah masalah  menimpa suatu kaum, melebihi kemampuan kaum itu.

Saat masalah itu datang, lebarkan hati dan katakan, selamat datang masalah.

 Ketika teman saya sedang melewati gajah, ia tiba-tiba berhenti, bingung dengan  makhluk-makhluk besar yang diikat oleh tali kecil pada kaki depan mereka. Gajah tidak rantai, juga tidak dikandang. Sudah jelas gajah bisa melepaskan diri kapan saja dari tali yang mengikat gajah tersebut. Teman saya bertanya ke pelatih yang ada didekatnya, kenapa hewan-hewan besar (gajah) itu tidak berusaha melarikan diri, padahal itu adalah sangat mudah untuk gajahlakukan.

“Yah,” kata pelatih gajah, “ketika gajah-gajah itu masih sangat muda dan jauh lebih kecil, kami mengikat gajah tersebut menggunakan tali ukuran kecil yang pada usia saat itu cukup untuk menahan gajah tersebut. Ketika gajah-gajah itu tumbuh, gajah-gajah itu dikondisikan untuk percaya bahwa gajahtersebut tidak dapat melepaskan diri dari ikatan itu. Gajah itu percaya bahwa tali yang kecil itu masih bisa menahan mereka, sehingga gajah-gajah tersebut tidak pernah mencoba membebaskan diri.

Teman saya kagum. Gajah ini bisa setiap saat melepaskan diri dari ikatan mereka tetapi karena mereka percaya bahwa mereka tidak bisa, mereka berdiam diri. Gajah tersebut terjebak dengan apa yang mereka percayai.

Sahabat Resensi.net seperti gajah, berapa banyak dari kita menjalani hidup tergantung pada keyakinan bahwa kita tidak bisa melakukan sesuatu, hanya karena kita gagal sekali sebelumnya? Kita telah tumbuh lebih dewasa, paling tidak telah bertambah usia dan pengalaman hidup. Jadi mari kita coba ulangi apa yang kita takut karenanya, bukan untuk gagal lagi, tetapi untuk menutup ketakutan dengan keberhasilan.

Gagal meyakinkan diri untuk mencoba lagi, adalah kegagalan yang sesungguhnya

Anda mungkin pernah gagal dalam berjuang, tetapi tidak ada kata gagal dalam perjuangan. Cobalah sahabat..