Sumber Artikel
A. Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0 a, b dan c adalah bilangan real.
- 1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
a) memfaktorkan,
b) melengkapkan kuadrat sempurna,
c) menggunakan rumus.
- a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh 1 :
Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0
Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 atau x – 1 = 0
x = 3 atau x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)2 = x – 2.
Jawab: (x – 2)2 = x – 2
x2 – 4 x + 4 = x – 2
x2 – 5 x + 6 = 0
(x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0 atau x – 2 = 0
x = 3 atau x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.
Contoh 3 :
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0.
Jawab: 2 x2 + 7 x + 6 = 0
2 x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0
2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0 atau 2 x + 3 = 0
x = –2 atau x = – 1
Jadi, penyelesaiannya adalah –2 dan –1.
- b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.
Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0
x2 – 6 x + 9 – 4 = 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4
x – 3 = 2 atau x – 3 = –2
x = 5 atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
Contoh 2:
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 – 8 x + 7 = 0.
Jawab: 2 x2 – 8 x + 7 = 0
2 x2 – 8 x + 8 – 1 = 0
2 x2 – 8 x + 8 = 1
2 (x2 – 4 x + 4) = 1
2 (x – 2)2 = 1
(x – 2)2 = ½
x – 2 = atau x – 2 = –
x = 2 + Ö2 atau x = 2 –Ö2
Jadi, penyelesaiannya adalah 2 + Ö2 dan 2 – Ö2.
- c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.
Jawab: x2 + 7x – 30 = 0
a = 1 , b = 7 , c = – 30
x = 3 atau x = –10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.
Latihan 1
- Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:
- Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian tentukanlah akar-akarnya!
- Salah satu akar x2 – mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!
- Jika x = 1 memenuhi persamaan (a – 1)x2 + (3a – 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang lain!
- Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebar
- x2 – 3x + 2 = 0 f. –2x2 + 8x – 9 = 0
- 3x2 – 9x = 0 g. –6x2 + 10xÖ3 – 9 = 0
- 6x2 – 13x + 6 = 0 h. x2 – 2xÖ3 – 1 = 0
- 5p2 + 3p + 2 = 0 i. x2 + x – 506 = 0
- 9x2 – 3x + 25 = 0 j. x2 – x + Ö2 = 2
- 2x – x(x + 3) = 0 c. (x – 3)2 + 2(x – 3) – 3 = 0
- (x – 3) (x + 2) – 2x2 + 12 = 0 d.
berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm2. Hitunglah panjang dan lebar kartu nama itu!
2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akarnya , b2 – 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai .
Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari nilai D.
Apabila:
- D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .
- D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama. .
- D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai
akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:
- x2 + 5 x + 2 = 0
- x2 – 10 x + 25 = 0
- 3 x2 – 4 x + 2 = 0
Jawab :
- x2 + 5 x + 2 = 0
a = 1 , b = 5 , c = 2
D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan.
- x2 – 10 x + 25 = 0
a = 1 , b = -10 , c = 25
D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
Karena D = 0, maka persamaan x2 – 10 x + 25 = 0 mempunyai dua akar real sama.
- 3 x2 – 4 x + 2 = 0
a = 3 , b = –4 , c = 2
D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8
Ternyata bahwa D < 0. Jadi, persamaan 3 x2 – 4 x + 2 = 0 tidak mempunyai akar real.
Latihan 2
- Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:
- x2 + 6x + 6 = 0
- x2 + 2x + 1 = 0
- 2x2 + 5x + 5 = 0
- –2x2 – 2x – 1 = 0
- 6t2 – 5t + 1 = 0
- 4c2 – 4c + 3 = 0
- Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama (kembar)!
- 4x2 + 8px + 1 = 0
- 4x2 – 4px + (4p – 3) = 0
- px2 – 3px + (2p + 1) = 0
- Persamaan x2 – 4px – (p – 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat tersebut!
- Buktikan bahwa persamaan x2 – px – (p + 1) = 0 mempunyai dua akar real berlainan!
- Buktikan bahwa mempunyai dua akar real berlainan!
3. Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat
- Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.
ax2 + bx + c = 0
x2 + x + = 0
Karena x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :
Jadi, , .
Contoh:
Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:
- x1 + x2 d.
- x1.x2 e. x13 + x23
- x12 + x22
Jawab: x2 – 3 x + 4 = 0 ® a = 1 , b = –3 , c = 4
a. x1 + x2 = 3
b. x1.x2 = 4
c. x12 + x22 = x12 + x22 + 2 x1.x2 – 2 x1.x2
= (x1 + x2)2 – 2 x1 x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1
e. (x1 + x2)3 = x13 + 3 x12 x2 + 3 x1 x22 + x23
= x13 + 3 x1 x2 (x1 + x2) + x23
x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1 x2 (x1 + x2)
= 33 – 3 . 4 (3)
= 27 – 36 = –9
Latihan 3
- Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan berikut:
- Akar-akar persamaan x2 + 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Dengan tidak menyelesaikan persamaan itu, hitunglah:
- Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 – (k + 2)x + 2k = 0 adalah 20. Hitunglah nilai k.
- Jumlah kebalikan akar-akar persamaan ax2 – (a + b)x + 2a = 0 adalah 2. Hitunglah nilai a.
- Akar-akar persamaan x2 + ax + b = 0 adalah x1 dan x2.
- x2 – 5x + 7 = 0 d. bx2 + ax + c = 0
- 2x2 – 7 = 0 e.
- 4x2 – 3x = 0 f. (x – p)2 + (x – q)2 = p2 + q2
- p2 + q2
- (p + 2) (q + 2)
- (p – 2q) (q – 2p)
Tentukan hubungan antara a dan b jika diketahui xi2 – x1x2 + x22 = 5.
4. Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:
v menggunakan perkalian faktor,
v menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.
- a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai
(x – x1) (x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika akar-akar
persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.
Contoh 1:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Jawab: (x – x1) (x – x2) = 0
(x – 3) (x – (-2)) = 0
(x – 3) (x + 2) = 0
x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0
x2 – x – 6 = 0.
Contoh 2:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan !
Jawab: (x – ) (x – ) = 0
= 0
6 x2 – 2 x – 3 x + 1 = 0
6 x2 – 5 x + 1 = 0
- b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar
Persamaan .
Dengan menggunakan x1 + x2 = – dan x1 x2 = , maka akan diperoleh persamaan:
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.
Jawab: x1 + x2 = -2 – 3 = – 5
x1 x2 = 6
Jadi, persamaan kuadratnya x2 – (–5)x + 6 = 0 atau x2 + 5x + 6 = 0.
- c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain
Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.
Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0.
Jawab:
Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. ® x1 + x2 = 2 , x1 x2 = 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan q = x2 +3
p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3) p q = (x1 + 3) (x2 + 3)
= x1 + x2 + 6 = x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9
= 2 + 6 = 8 = 3 + 2(2) = 9 = 18
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q) + pq = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0.
Contoh 2:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0.
Jawab:
Misalkan akar-akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan b = 2x2
a + b = 2(x1 + x2) = 2
a b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 . = 2
Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:
x2 – (a + b)x + ab = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 3x + 2 = 0..
Latihan 4
- Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya:
- Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat berturut-turut adalah dan . Tentukan persamaan kuadratnya!
- Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 4x – 6 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
- Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 2x + 1 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
- Diketahui persamaan 2x2 – 5x + 3 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
- 1 dan 3
- 2 dan -4
- -1 dan -5
- –Ö2 dan 2Ö2
- (p + q) dan (p – q)
- (a + 1) dan (b + 1)
- (a– 3) dan (b– 3)
- 4a dan 4b
- –a dan –b
- (2a + 1) dan (2b + 1)
- a2 dan b2
- berlawanan dengan akar-akar persamaan yang diketahui.
- kebalikan akar persamaan yang diketahui.
B. Fungsi Kuadrat
- 1. Pengertian
Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan disebut fungsi kuadrat.
Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
Contoh 1:
Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7
Ditanyakan:
- nilai pembuat nol fungsi f
- nilai f untuk x = 0 , x = –2
Jawab:
- Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
x2 – 6 x – 7 = 0
(x – 7) (x + 1) = 0
x = 7 atau x = –1
Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1
- Untuk x = 0 maka f(0) = –7
x = –2 maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9
Contoh 2:
Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x2 + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.
Jawab :
Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.
D = (p – 1)2 – 4 . 3 . 3 = 0
p2 – 2p – 35 = 0
(p – 7) (p + 5) = 0
p = 7 atau p = –5
Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.
Periksalah jawaban itu.
- 2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat
Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:
1) f(x) = x2 – 2x – 3
= x2 – 2x + 1 – 4
=(x – 1)2 – 4
Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.
Jadi, f(x) = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.
2) f(x) = –x2 + 4x + 5
= –x2 + 4x – 4 + 9
= –(x2 – 4x + 4) + 9
= –(x – 2)2 + 9
Nilai terbesar dari – (x – 2)2 sama dengan nol untul x = 2.
Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)2 + 9 adalah 0 + 9 = 9.
Jadi, f(x) = –(x – 2)2 + 9 atau f(x) = –x2 + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.
Sekarang perhatikan bentuk umum f(x) = ax2 + bx + c
Dengan uraian di atas, diperoleh:
Fungsi kuadrat f(x) = a x2 + b x + c
Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum untuk
Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum untuk
Contoh:
Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 + 4x + 7
Jawab:
f(x) = 2x2 + 4x + 7 , a = 2 , b = 4 , c = 7
Nilai minimum fungsi f = 5
Latihan 5
- Diketahui: f(x) = x2 – 4x – 6
Ditanya: a. nilai pembuat nol fungsi
b. nilai f(x) , jika x = 0
c. f(2) , f(–1) , f(p)
- Tentukan nilai minimum atau maksimum dari fungsi berikut ini:
- Fungsi kuadrat f(x) = 2x2 – px + 3 mempunyai nilai minimum untuk x = 2. Hitunglah nilai minimum itu!
- Nilai maksimum f(x) = ax2 + 4x + a adalah 3. Hitunglah nilai a !
- Selisih dua bilangan positif adalah 3. Tentukan kedua bilangan itu agar hasilkalinya minimum!
- Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3, dan mempunyai nilai 6 untuk x = 1. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!
- f(x) = x2 + 4x + 4
- f(x) = 2x2 – 4x + 3
- f(x) = –3 x2 + 12x – 8
- f(x) = –7 + 12x – 3x2
- f(x) = (2x + 1) (x =- 3)
- f(x) = (2x – 1)2
- 3. Grafik Fungsi Kuadrat
Grafik fungsi kuadrat f : x ® y = a x2 + b x + c grafiknya berbentuk parabola.
Gambar 7.1 Gambar 7.2
Perhatikan Gambar 7.1 dan 7.2
- Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X.
- Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y.
- Titik P merupakan titik balik/puncak parabola.
- Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri.
Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan:
1) Titik potong grafik dengan sumbu-X.
Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0, maka
a x2 + b x + c = 0. Karena a x2 + b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D (diskriminan).
D > 0 ® terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0).
D = 0 ® terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.
D < 0 ® tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.
2) Titik potong dengan sumbu-Y.
Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0. Sehingga koordinatnya (0 , c).
3) Sumbu simetri
Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah:
4) Titik Puncak/ Balik
Koordinat titik puncak
Catatan:
- Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a x2 + b x + c berbentuk parabola.
- Parabola terbuka ke atas jika a > 0.
- Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.
Contoh:
Buatlah sketsa grafik y = x2 – 2x – 3 untuk x e R.
Jawab:
Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
x = 3 dan x = –1
Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(–1 , 0)
Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0
y = 0 – 0 – 3 = – 3
Koordinat titik potongnya C(0 , –3)
Sumbu simetri, garis
Titik puncak ® D(1 , –4)
Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik fungsi
y = x3 – 2x – 3.
Latihan 6
- Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat berikut ini, dengan sumbu koordinat:
- y = x2 – 4x – 5 c. y = -2x2 + 5x – 3
- y = x2 + 4x + 4 d. y = 2x2 – 5x + 4
- Tentukan koordinat titik puncak/balik grafik fungsi pada soal no. 1 di atas!
- Grafik fungsi kuadrat y = 2x2 – px + 3 mempunyai sumbu simetri garis x = 2. Tentukan koordinat titik puncak !
- Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat berikut ini dengan langkah-langkah:
- y = x2 – 6x + 8 d. y = x2 – 2
- y = (x – 5)2 e. y = –x2 + 3
- y = 16 – x2 f. y = x2 + 2x + 2
4. Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu
Suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:
- melalui tiga titik yang berlainan.
- memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.
- melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui.
- menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.
- a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik
Contoh:
Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).
Jawab :
Misal persamaan grafik adalah y = a x2 + b x + c
Grafik melalui titik (–1 , 0) ® 0 = a(–1)2 + b (–1) + c
0 = a – b + c ………………. (1)
Grafik melalui titik (1 , 8) ® 8 =a (1)2 + b (1) + c
8 = a + b + c ………………. (2)
Grafik melalui titik ( 2 , 6 ) ® 6 = a (2)2 + b (2) + c
6 = 4 a + 2 b + c …………… (3)
Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.
(1) a – b + c = 0 (2) a + b + c = 8 a – b + c = 0
(2) a + b + c = 8 (3) 4a + 2b + c = 6 –2 – 4 + c = 0
–2b = –8 3a – b = 2 c = 6
b = 4 – 3a – 4 = 2
a = –2
Jadi, fungsi kuadrat itu adalah y = –2x2 + 4x + 6.
b. Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X
Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).
(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c sehingga 0= ap2 + bp + c dan
0= aq2 + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:
0 = a(p2 – q2) + b(p – q)
b(p – q) = –a(p2 – q2)
= –a(p + q) (p – q)
b = – a(p + q)
Substitusikan b = – a(p + q) ke ap2 + bp + c = 0
ap2 + (– a(p + q)) p + c = 0
ap2 – ap2 – pqa + c = 0
c = pqa
Untuk b = – a(p + q) dan c = pqa maka
y = a x2 + b x + c Û y = ax2 – a(p + q)x + pqa
= a(x2 – (p + q)x + pq)
= a(x – p) (x – q)
Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0).
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) !
Jawab:
Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya
y = a(x – (–5)) (x – 1)
= a(x + 5) (x – 1)
Grafik melalui titik (–3, –8), berarti
–8 = a(–3+5) (–3 – 1)
= –8a
a = 1
Substitusikan a = 1 pada y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh y = x2 + 4x – 5.
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x2 + 4x – 5.
- c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui
Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah .
Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dapat
dinyatakan dengan .
Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah y = a (x – p)2 + q
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).
Jawab:
Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah y = (x – 1)2 + 3
Grafik melalui titik (0,0) berarti:
0 = a(0 – 1) + 3
0 = a + 3
a = –3
Substitusikan a = –3 pada y = a (x – 1)2 + 3 maka diperoleh
y = –3 (x – 1)2 + 3
y = –3 (x2 – 2x + 1) + 3
y = –3x2 + 6x
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x2 + 6x.
d. Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X
Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (,0).
Sehingga .
Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah .
Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !
Jawab:
Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah
y = a (x – 2)2
Grafik melalui titik (0,4) berarti :
4 = a(0 – 2)2 = 4a
a = 1
Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)2 atau y = x2 – 4x + 4.
Latihan 7
- Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (–2, 12), (1, –3), dan (5, 5) !
- Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (3, –2), (5, 4), dan (1,-1 !
- Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0), dan (4, 0) serta melalui titik (0, 2) !
- Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (4, 0) dan (1, 0) serta melalui titik (2, –2)
- Koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat adalah (–1, 1). Tentukan fungsi kuadrat itu jika grafiknya melalui titik (0, 1) !
- Koordinat titik puncak grafik fungsi y = ax2 + bx + 5 adalah (4, 9). Tentukan fungsi kuadratnya!
- Suatu parabola menyinggung sumbu-X di titik (–2, 0) dan melalui titik (0, –1). Tentukan persamaan parabola!
- Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai tertinggi –3 untuk x = 2, sedangkan grafiknya melalui titik
(–2, –11). Tentukan fungsi kuadratnya!
- Suatu fungsi kuadrat, grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0) dan (5, 0), sedang fungsi itu mempunyai nilai maksimum 9. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!
- Grafik fungsi y = (p+3)2 – 2(p – 1)x + (2p – 5) mempunyai titik puncak yang absisnya p. Tentukan fungsi kuadrat itu!
C. Pertidaksamaan
- Pertidaksamaan Linear
Berdasarkan penyelesaiannya, pertidaksamaan linear terbagi menjadi :
- Pertidaksamaan biasa, yaitu pertidaksamaan yang memiliki himpunan penyelesaian.
Contoh : 2 x + 3 < 5
- Pertidaksamaan identik, yaitu pertidaksamaan yang berlaku untuk semua nilai peubah.
Contoh : x + 5 < 2x + 10
- Pertidaksamaan palsu, yaitu pertidaksamaan yang tidak mempunyai himpunan penyelesaian.
Contoh x + 8 < x + 4
Contoh 1 :
Tentukan nilai x yang memenuhi 2 x + 4 > x + 3 !
Jawab :
2 x + 4 > x + 3
2 x – x > 3 – 4
x > – 4
Contoh 2 :
Selesaikanlah 3 x + 5 < 5 x + 7 !
Jawab :
3 x + 5 < 5 x + 7
3 x – 5 x < 7 – 5
- 2 x < 2
x > –1 (Catatan : ruas kiri dan kanan dibagi dengan bilangan negatif,
tanda pertidaksamaan berubah)
Latihan 8
Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut :
- 4 x > 12 6. 2 x + 1 £ 5 x – 4
- – 2 x < 7 7. – 8 x + 2 ³ 5 x – 10
- 4 + 3 x ³ – 8 8.
- 9 – 3 x £ 6 9.
- 2 x + 3 £ x + 4 10.
Tentukan nilai-nilai x dengan kemungkinan-kemungkinannya !
- p x – p < 0 13. p x + q x < p + q
- a x £ a3 14. a x + 1 > x + a
Tentukan nilai x yang memenuhi:
- 16
- Pertidaksamaan Kuadrat
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dilakukan langkah-langkah berikut :
- Jadikan ruas kanan nol.
- Uraikan ruas kiri atas faktor linear
- Tentukan nilai pembuat nol ruas kiri
- Buat garis bilangan dan tempatkan nilai pembuat nol ruas kiri pada garis bilangan
- Tentukan tanda-tanda ruas kiri pada garis bilangan.
- Tentukan penyelesaian pertidaksamaan.
Contoh 1 :
Selesaikan x2 – 2x – 8 ³ 0 !
Jawab :
x2 – 2 x – 8 ³ 0
(x – 4 ) (x + 2) ³ 0
Garis bilangan :
+ + + + + | – - – - – - | + + + +
–2 4
Nilai x yang memenuhi :
x £ –2 atau x ³ 4
Contoh 2 :
Selesaikan 3 x2 + 2 x < 3 – 6 x !
Jawab :
3 x2 + 2 x < 3 – 6 x
3 x2 + 2 x + 6 x – 3 < 0
3 x2 + 8 x – 3 < 0
(3 x – 1) (x + 3) < 0
Nilai pembuat nol : 3x – 1 = 0 dan x + 3 = 0
3x = 1 x = –3
x =
Garis bilangan
+ + + + | – - – - – - – - – | + + + + +
o o
–3
Karena permintaan adalah negatif, maka nilai x yang memenuhi adalah –3 < x <
Latihan 9
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut :
- x2 + x – 2 < 0 6. 15 – 7 x £ 2 x2
- x2 – 16 < 0 7. 4 x2 – 2 x ³ 3 + 3 x – 4 x2
- 9 – x2 > 0 8. 5 x2 + 15 x £ 2 (x + 3)
- x2 – x < 3 x 9. 3 – 2 x £ 9 x – 6 x2
- 2 x – x2 ³ 0 10. 2 x2 – 3 x – 5 ³ 0
Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat
Pada sub bab terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 yaitu D = b2 – 4ac . Selain itu dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Pada bagian ini akan dibahas pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :
- jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
- tanda-tanda fungsi kuadrat
- garis dan parabola
- a. Hubungan diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Hubungan diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat serta dapat menentukan koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang meme-nuhi syarat tertentu.
Bagan berikut menunjukkan syarat-syarat yang harus dipebuhi oleh persamaan kuadrat
a x2 + b x + c = 0 , a ¹ 0 yang akar-akarnya x1 dan x2 .
a x2 + bx + c = 0
a ¹ 0
D < 0 D = b2 – 4 a c D = 0
Akar imajiner Akar kembar
(x1 = x2)
x1 = 0 , x2 ¹ 0 x1 = – x2 x1 = x1 = + , x2 = + x1 = – , x2 = – x1 = – , x2 = +
c = 0 berlawanan kebalikan a, c tanda sama a,b,c tanda a, c tanda
b = 0 a = c b berbeda sama berbeda
Contoh 1 :
Tentukan nilai p agar x2 – 2 p x + 2p + 15 = 0 mempunyai :
- akar kembar
- kedua akar tandanya berlawanan
Jawab :
- x2 – 2 p x + 2p + 15 = 0 b. Syarat kedua akar tandanya berlawanan D > 0 ; x1 . x2 < 0
a = 1 , b = –2p dan c = 2p + 15 b2 – 4 a c > 0 x1 . x2 < 0
Agar kedua akar kembar, maka D = 0 (–2 p)2 – 4 . 1 . (2 p + 15) > 0 < 0
b2 – 4 a c = 0 4 p2 – 8 p – 60 > 0 2 p + 15 < 0
(–2 p)2 – 4 . 1 . (2 p + 15) = 0 p2 – 2 p – 15 > 0 2 p < –15
4 p2 – 8 p – 50 = 0 (p – 5) (p + 3) > 0 p < –7
p2 – 2 p – 15 = 0 + + + + – - – - – - – - - + + + + +
(p – 5) (p + 3) = 0 o o
p = 5 atau p = –3 –3 5
Jadi nilai p adalah 5 dan –3 p < –3 atau p > 5
Dari syarat (1) dan (2) diperoleh :
o o
–3 5
o
–7
Jadi : p < –7
Latihan 10
- Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai dua akar yang sama !
- x2 + 2 p x + 4 = 0
- x2 + px + p + 3 = 0
- Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai akar akar real yang berlainan !
- x2 + p x + p = 0
- x2 – (p + 3) x + 2 p + 2 = 0
- p x2 + 3 x + p = 0
- Tentukan nilai p agar (4 – p) x2 + 11 x + p + 6 = 0 mempunyai akar berkebalikan !
- Persamaan x2 + (2 m – 1) x + m2 – 3 m – 4 = 0 mempunyai akar berlawanan. Tentukan nilai m !
- Tentukan nilai m agar x2 + 2 m x – m2 + 5 m – 6 = 0 mempunyai :
- dua akar berlawanan
- dua akar berlawanan tanda
- dua akar positif
- b. Tanda-tanda fungsi kuadrat
Kedudukan parabola y = a x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung pada nilai a dan nilai diskriminan .
- Berdasarkan tanda a
a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum (parabola terbuka ke atas).
a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum (parabola terbuka ke bawah).
- Berdasarkan tanda D = b2 – 4 a c
D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang berlainan.
D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang sama atau parabola menyinggung sumbu-X.
D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X dan juga tidak menyinggung sumbu-X.
Dengan menggabungkan tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai berikut:
Dengan memperhatikan gambar-gambar di atas, diperoleh kesimpulan:
Fungsi kuadrat yang dinyatakan dengan f(x) = a x2 + b x + c = 0 , a ¹ 0.
Untuk a > 0:
1) D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1) (x – x2)
f(x) > 0 untuk x < x1 dan x > x2
f(x) < 0 untuk x1< x < x2
2) D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1)2
f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f(x) = 0
3) D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi
f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit positif.
Untuk a < 0:
1) D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1) (x – x2)
f(x) < 0 untuk x < x1 dan x > x2
f(x) > 0 untuk x1< x < x2
2) D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1)2
f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f(x) = 0
3) D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi :
f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit negatif.
Contoh 1:
Tentukan batas-batas nilai p agar fungsi f(x) = x2 – 4 x – m + 2 definit positif.
Jawab:
f(x) = x2 – 4 x – m + 2
Syarat agar fungsi kuadrat definit positif adalah a > 0 dan D < 0.
a = 1 bilangan positif
D = (–4)2 – 4 (1) (–m + 2) = 16 + 4 m – 8
= 4 m + 8
D < 0 « 4 m + 8 < 0
m < –2
Jadi, agar f(x) = x2 – 4 x – m + 2 definit positif, maka m < –2
Contoh 2:
Tentukan fungsi kuadrat yang hanya negatif bagi – 2 < x < 2 dan grafiknya melalui titik (3, 10) !
Jawab:
Fungsi kuadrat y = f(x)
y < 0 untuk –2 < x < 2 berarti parabola terbuka ke atas.
y = a(x + 2) (x – 2), melalui titik (3, 10) berarti
10 = a(3 + 2) (3 – 2)
= 5a
a = 2
Jadi, y = 2(x + 2) (x – 2) atau y = 2x2 – 8.
Latihan 11
- Tentukan batas-batas x supaya fungsi berikut ini negatif!
- y = x2 – 7x + 10 b. y = 6x2 – 5x – 6 c. y = 2x2 + x – 6
- Tentukan nilai x agar fungsi berikut ini positif!
- y = x2 – x – 2 b. y = –x2 + 2x + 8 c. y = 2x2 – 9x – 5
- Tentukan batas-batas m supaya y = x2 +6x + m positif untuk setiap nilai m !
- Tentukan batas-batas nilai p supaya fungsi berikut ini definit positif !
- y = x2 – 2px + 3p + 4 b. y = (p + 2)x2 – (2p + 1)x + (p – 2)
- Tentukan nilai a supaya y = (a – 1)x2 + 2ax + a tidak positif untuk setiap harga x !
- Tentukan fungsi kuadrat menjadi negatif untuk –2 < x < 4 dan mempunyai minimum –6 !
- Tentukan fungsi kuadrat yang hanya positif untuk –1 < x < 2 dan melalui titik (0, 2) !
- Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan oleh f(x) = 3x2 + mx + 2m2 dan g(x) = x2 + 2mx + m2. Jika grafik f(x) selalu di atas grafik g(x), tentukan batas-batas m !
- c. Persamaan Garis Singgung pada Grafik Fungsi Parabola
Antara garis lurus dan grafik fungsi kuadrat terdapat tiga hubungan, yaitu:
v garis memotong grafik
v garis menyinggung grafik
v garis tidak memotong dan tidak menyinggung grafik.
Koordinat titik potong antara garis y = mx + n dan grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx+c diperoleh dengan mencari nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut.
Garis lurus ® y = mx + n …(1)
Parabola ® y = ax2 + bx + c …(2)
Persamaan (1) disamakan dengan persamaan (2), maka diperoleh ax2 + (b – m)x + c – n, merupakan persamaan kuadrat dalam x, sehingga terdapat kemungkinan sebagai berikut:
1) D > 0 mempunyai dua akar real berlainan yang berarti terdapat dua titik potong atau garis memotong parabola.
2) D = 0 mempunyai sebuah akar kembar, yang berarti mempunyai sebuah titik persekutuan atau garis menyinggung parabola.
3) D < 0 tidak mempunyai akar real, yang berarti garis tidak memotong parabola.
Contoh 1:
Tentukan koordinat titik potong garis y = x + 5 dengan parabola y = x2 – 3x.
Jawab: y = x + 5 dan y = x2 – 3x disamakan
x + 5 = x2 – 3 x Untuk x = 5 maka y = 5 + 5 = 10
x2 – 4 x – 5 = 0 Untuk x = –1 maka y = –1 + 5 = 4
(x – 5) (x + 1) = 0
x = 5 dan x = –1
Jadi, koordinat titik potong antara garis y = x + 1 dan parabola y = x2 – 3x
adalah (5, 10) dan (–1, 4).
Contoh 2:
Tentukan nilai m, supaya garis y = x + m menyinggung parabola y = x2 – 2 .
Jawab: y = x + m dan y = x2 – 2 disamakan
x + m = x2 – 2
x2 – 2x – 2m – 2 = 0
Syarat supaya bersinggungan: D = 0.
D = (-2)2 – 4 . 1 (2m – 2) = 0
4 + 8m + 4 = 0
8m = –8
m = –1
Jadi, agar garis menyinggung parabola maka m = –1.
Latihan 12
- Tentukan koordinat titik potong antara garis dengan parabola berikut ini :
- y = x + 1 dan y = x2 – x – 2
- y = 3x – 8 dan y = x2 – 3x
- y = –2x + 9 dan y = 2x2 – 4x + 7
- Tentukan nilai m supaya garis y = mx + 1 menyinggung parabola !
- Tentukan persamaan garis yang melalui (0, -1) dan menyinggung parabola y = x2 !
- Ditentukan parabola dan garis y = x – 2 :
- Tentukan koordinat titik potong antara garis dan parabola.
- Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik potong itu.
- Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (1, 2) dan menyinggung garis y = x !
- Tentukan m supaya garis y = mx +2 menyinggung parabola y = mx2 + x + 4 !
- Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y = x2 + 2 yang sejajar dengan garis x – 2y – 4 = 0 Tentukan pula koordinat titik singgungnya!
- Fungsi kuadrat y = (m + 3)x2 – (3m + 3)x + (m – 5) grafiknya melalui titik asal. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola itu yang melalui titik asal !
- Fungsi kuadrat y = x2 + (m + 2) x + 2 m – 4 grafiknya selalu melalui sebuah titik yang tidak tergantung pada nilai m. Tentukanlah titik tersebut !
- Tentukan dua buah titik tetap yang selalu dilalui fungsi kuadrat y = m x2 +(3 m – 2 ) x + 2 – 3 m !
- Pertidaksamaan Pangkat Tinggi
Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pertidaksamaan pangkat tinggi :
- Jadikan ruas kanan nol.
- Faktorkan ruas kiri
- Bila terdapat definit positif, definit tersebut dapat dihilangkan begitu saja, tetapi bila terdapat definit negatif, definit ini bisa dihilangkan apabila tanda pertidaksamaan diubah menjadi lawan dari tanda mula-mula.
- Bila hasil faktorisasi terdapat perpangkatan ganjil, maka tidak ada pengaruh apa-apa pada pertidaksamaan.
- Bila hasil faktorisasi terdapat perpangkatan genap, maka pada garis bilangan akan terdapat pengulangan tanda (mengikuti tanda di sebelah kanannya)
Contoh 1 :
Tentukan nilai x yang memenuhi: (x – 1)2 (x + 2)3 (x – 3) > 0 !
Jawab : (x – 1)2 (x + 2)3 (x – 3) > 0
+ + + + + | – - – - – - - | – - – - - | + + + + +
–2 1 3
Jadi nilai x yang memenuhi adalah: x < – 2 atau x > 3
Contoh 2 :
Selesaikan : (2 – x)5 (x + 3) (x2 + x + 1) > 0 !
Jawab : x2 + x + 1 adalah definit positif
Sehingga pertidaksamaan itu dapat ditulis menjadi :
(2 – x)5 (x + 3) > 0
- – - – - – - | + + + + + | – - – - – -
–3 2
Nilai x yang memenuhi adalah : –3 < x < 2
Latihan 13
Tentukan nilai x yang memenuhi :
- (x2 – 3 x + 5) (x + 2) (x – 1) < 0 6. (-2 + 3 x – 4 x2) (x + 4) (x – 3) < 0
- (x – 1) (x + 2) (x – 3) (x + 4) ³ 0 7. (x + 10)5 (x – 7)2 (x + 5)2 £ 0
- (x + 1) (2 – x) (x + 3) £ 0 8. x4 – 13 x2 + 36 ³ 0
- (x – 5) (x +1)2 (x + 3 > 0 9. x (x2 – x – 2) (15 – 2x – x2) > 0
- (2 – x)2 (x + 3)5 (x – 1) < 0 10. (x2 – 2 x – 3) (x2 + 4 x + 3) £ 0
- Pertidaksamaan Pecahan
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan perlu diingat bahwa :
- Hasil bagi dua bilangan mempunyai tanda yang sama dengan hasil kali bilangan itu.
- Penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan nol
- Bila terdapat definit positif , definit positif dapat dihilangkan tanpa mempengaruhi pertidaksamaan, tetapi jika terdapat definit negatif, definit negatif dapat dihilangkan asalkan tanda pertidaksamaan
berubah menjadi lawan dari tanda pertidaksa-maan mula-mula
Contoh 1 :
Selesaikan !
Jawab :
+ + + + – - – - – - – - – - + + + +
o o
–2 3
Nilai x yang memenuhi : x < –2 atau x > 3
Contoh 2 :
Selesaikan !
Jawab :
+ + + + + – - – - – - – - + + + +
o
–3 1
Harga x yang memenuhi adalah –3 < x £ 1 (ingat penyebut tidak boleh nol)
Contoh 3 :
Tentukan nilai x yang memenuhi: !
Jawab : Penyebut merupakan definit positif, jadi dapat diabaikan
x2 + 2x – 8 ³ 0
(x + 4) (x – 2) ³ 0 + + + + | – - – - – - – - | + + + +
–4 2 Nilai x yang memenuhi adalah : x £ –4 atau x ³ 2
Latihan 14
Tentukan nilai x yang memenuhi :
- 6.
- 7.
- 8.
- 9.
- 10.
- Pertidaksamaan Irasional
Cara penyelesaian bentuk pertidaksamaan ini adalah :
- Bentuk bilangan di bawah tanda akar selalu lebih besar atau sama dengan nol
- Tanda akar dapat dihilangkan dengan mengkuadratkan
Contoh 1:
Selesaikan !
Jawab : Syarat :
kuadratkan 2 x – 1 ³ 0
2 x – 1 < 9 2 x ³ 1
2 x < 10 x ³ . . . . . (2)
x < 5 . . . . . .(1)
o
5 Jadi : £ x < 5
Contoh 2 :
Selesaikan
Jawab :
Syarat I Syarat II
kuadratkan 2 x – 10 > 0 2 – x ³ 0
2 x – 10 > 2 – x 2 x > 10 2 ³ x
2 x + x > 2 + 10 x > 5 x £ 2
3 x > 12
x > 4 2 4 5
Jadi tidak ada nilai x yang memenuhi.
Contoh 3 :
Tentukan nilai x yang memenuhi : !
Jawab :
Syarat I Syarat II
kuadratkan x + 3 > 0 12 – 2x ³ 0
x + 3 > 12 – 2 x x > –3 12 ³ 2x
x + 2 x > 12 – 3 x £ 6
3 x > 9
x > 3 –3 3 6
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas : 3 < x £ 6.
Contoh 4 :
Selesaikan
Jawab :
Syarat :
kuadratkan x2 + 2 x ³ 0
x2 + 2 x < x2 + 6 x + 9 x (x + 2) ³ 0
2 x – 6 x < 9 + + | – - – - – - -| + + +
–4 x < 9 –2 0
x >–2 x £ –2 atau x ³ 0 …2)
o
–2 –2 0
Hasil penyelesaian : –2 < x £ –2 atau x ³ 0
Latihan 15
Tentukan nilai x yang memenuhi :
- < 3 6.
- < 4 7. < x – 2
- < 5 8. < 15 – x
- 9.
- 10.
- Pertidaksamaan Nilai Mutlak.
Nilai mutlak dari bilangan a ditulis | a | dan mempunyai nilai sebagai :
| a | =
Contoh 1 :
| 70 | = 70 | – 70 | = – (– 70) = 70 | 0 | = 0
Pertidaksamaan dengan nilai mutlak dapat diselesaikan dengan mengkuadratkan
Contoh 2 :
Carilah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ; | x | £ a , a positif !
Jawab : | x | £ a
kuadratkan
x2 £ a2
x2 – a2 £ 0
(x – a) (x + a) £0 + + + + – - – - – - – – + + + +
–a a
Jadi ; – a £ x £ + a
Contoh 3 :
Tentukan nilai x yang memenuhi | x | ³ a , a positif !
Jawab : | x | ³ a
kuadratkan
x2 ³ a2
x2 – a2 ³ 0
(x – a) (x + a) > 0
(x – a) (x + a) ³ 0 + + + + – - – - – - – – + + + +
– a a
Jadi x £ – a atau x ³ a
Contoh 4 :
Selesaikan | x – 4 | < 3
Jawab ;
Cara I Cara II
| x – 4 | < 3 Dari jawaban contoh 1, diperoleh:
kuadratkan | x – 4 | < 3
(x – 4)2 < 9 –3 < x – 4 < 3
x2 – 8 x + 16 < 9 Jadi 1 < x < 7
x2 – 8 x + 7 < 0
(x – 1) (x – 7) < 0
+ + + + o – - – - – - o + + + + +
1 7
Jadi 1 < x < 7
Contoh 5 :
Selesaikan : | x + 2 | > 5 !
Jawab :
Cara I Cara II
| x + 2 | > 5 Dari jawaban contoh 2, diperoleh
kuadratkan | x + 2 | > 5
(x + 2)2 > 25 x + 2 < – 5 atau x + 2 > 5
x2 + 4 x + 4 > 25 x < –7 atau x > 3
x2 + 4 x – 21 > 0
(x + 7) (x – 3) > 0
+ + + + o - – - – - – o + + + + +
-7 3
Jadi x < -7 atau x > 3
Latihan 16
Selesaikan pertidaksamaan berikut :
- | x | £ 4 6. | x2 – 5 | £ 4
- | x + 1 | > 2 7. | x2 – x – 1 | £ 1
- | x2 – 2 | > 1 8. | 2 x2 – 8 x – 1 | ³ 9
- | x2 – 4 x | > 0 9. £ 1
- | x2 – 1 | < 7 10. ³ 2
